根据变分问题，我们首先定义能量泛函 $J(v)$：

\[J(v)=\iiint_{\Omega} \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iint_{\Gamma}\left(\frac{1}{2} \sigma u^2-g u\right) \mathrm{d} s\]

接下来，我们要求函数 $u \in V$ 以最小化 $J(v)$。其中，$V=C^2(\Omega) \cap C^1(\bar{\Omega})$。

为了导出与此变分问题等价的边值问题，我们需要执行以下步骤：

1. 首先，对于能量泛函 $J(v)$ 的第一部分，我们有：

   \[\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \in L^2(\Omega)\]

   而对于第二部分，我们有：

   \[\sigma u, g \in L^2(\Gamma)\]

2. 然后，我们将能量泛函 $J(u)$ 分别对 $u$ 和 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}$ 求变分，得到欧拉-拉格朗日方程。

3. 最终可以得到与变分问题等价的边值问题为：

   \[-\Delta u = f \text{ in } \Omega\]

   \[u = 0 \text{ on } \partial \Omega\]

   其中 $f = -\nabla \cdot \sigma + g$。

4. 最后需要证明这两个问题是等价的，即它们具有相同的解集合。等价性的证明通常包括两个步骤：解存在性和解唯一性。 解存在性可以通过能量泛函的严格数学处理来证明，而解的唯一性则可以通过利用椭圆偏微分方程理论中的最大值原理和调和函数的性质来证明。

以上就是详细的导出与此变分问题等价的边值问题的过程。